Todo sobre los condensadores. Parte 4: Carga y descarga

En artículos anteriores de esta serie vimos como funcionan los condensadores, los distintos tipos que existen y sus aplicaciones así como que sucede cuando se los conecta en serie o en paralelo. En esta ocasión analizaremos en detalle el proceso de carga y descarga cuando un condensador está conectado en un circuito de corriente continua.

La función exponencial

Antes de comenzar a explicar que sucede con la carga y descarga de un condensador vamos a tener que ponernos un poco matemáticos.

En este artículo veremos que tanto la tensión como la corriente en el condensador varían siguiendo una función matemática que se denomina exponencial, que tiene la siguiente forma:

y = e^x

Es decir que a medida que x va tomando distintos valores, y es igual a e, que es una constante denominada número de Euler con un valor de 2,71828 elevada a la potencia x.

En realidad la función será exponencial aunque no usemos el número e. Si fuera 2, 4 o 150 también sería exponencial porque ese número está “elevado a la x”. De todos modos, en los circuitos con condensadores siempre aparecerá la constante e.

Estas funciones exponenciales tienen una forma como la que se puede ver en la siguiente imagen

Como se ve, a medida que x aumenta, y va aumentando y lo hace cada vez mas rápido. De allí la expresión “crece exponencialmente” cuando queremos decir que algo aumenta cada vez mas.

Como luego lo usaremos en repetidas ocasiones, recordemos algunos valores particulares de esta función exponencial.

Primero, si x=0:

y = e^x = e^0 = 1

Ya que cualquier número elevado a la potencia cero es igual a 1.

Y por otro lado, si el tiempo tiende a infinito:

y = e^x = e^\infty = \infty

Pero en el sentido contrario, si t tiende a menos infinito:

y = e^x = e^{-\infty} = 0

Octave

Para mostrar variaciones de tensión y corriente en un circuito con condensador he utilizado el programa Octave, que es sumamente útil no sólo para realizar gráficas sino también para hacer distintos tipos de cálculos matemáticos. Es totalmente gratuito y lo puedes descargar de su página web.

Si estudias electricidad, electrónica o alguna otra disciplina que requiera el empleo de cálculos matemáticos y realizar gráficas y curvas, te sugiero que inviertas tiempo en aprender a utilizarlo.

Debajo de cada gráfica he dejado el script de Octave utilizado para obtenerla, que puedes ver haciendo click sobre el ícono del “ojito”

Circuito RC

Se denomina circuito RC a la asociación de un capacitor y una resistencia. Si están en serie, tendremos un circuito RC serie y si están conectados en paralelo, un circuito RC paralelo.

En este artículo emplearemos un circuito RC serie. Este sencillo circuito, conectado a una fuente de tensión de corriente continua y un interruptor, nos servirá para estudiar con mas detalle el proceso de carga y descarga de un condensador o capacitor.

El objetivo de este estudio será conocer como varían la tensión y la corriente en bornes del condensador en función del tiempo y que influencia tienen en ese comportamiento los valores de resistencia (R) y capacidad (C) conectados en serie.

Carga

Observa el funcionamiento del circuito de la Fig. 3 ubicada mas abajo.

Como vimos en un artículo anterior, al cerrar el interruptor las cargas comienzan a moverse desde la fuente de tensión (V) al condensador, a través de la resistencia.

En el momento inicial, como las placas del capacitor no tienen carga, este movimiento es rápido, pero a medida que las placas se van cargando, las cargas que ya están presentes en las placas se oponen a la llegada de cargas nuevas con lo que el movimiento va disminuyendo.

Llega un momento en que el flujo de cargas se detiene y decimos que el condensador ya está cargado.

Me gusta comparar este proceso con lo que sucede cuando un grupo de personas, por ejemplo los alumnos cuando salen de la escuela, suben a un transporte público (ómnibus, bus o colectivo).

Al empezar a subir, el vehículo está vacío, por lo que los alumnos suben rápidamente. Pero a medida que se va llenando, los alumnos que suben luego lo hacen mas lentamente, porque encuentran que hay asientos ocupados, o porque deben esquivar a quienes ya se encuentran dentro. El proceso termina cuando el transporte está lleno y ya no admite el ingreso de mas pasajeros.

Variación de la tensión

Volviendo a la imagen de la Fig.3, veamos que pasa con la tensión, cuya variación puede apreciarse en el indicador de la derecha.

Inicialmente, como la carga es cero, la tensión también es cero.

Cuando el interruptor se cierra y el condensador se comienza a cargar, la tensión crece. Al principio la tensión crece rápidamente, pero luego lo hace cada vez mas lentamente hasta que alcanza el valor de la fuente (en este caso 10 voltios) y se mantiene en ese valor constante porque el condensador ya está cargado.

Todas las palabras de los párrafos anteriores pueden ser reemplazadas por una fórmula matemática sencilla que describe como varía la tensión en el capacitor (V_C) con el tiempo (t).

Sin demostrarlo, la fórmula es la siguiente:

V_C = V_{CC} \cdot (1 - e^{-t/RC})

Donde V_cc es el voltaje de la fuente, e es una constante que ya vimos vale 2,71, R es el valor de la resistencia en ohms y C el de la capacidad en Faradios.

Veamos que pasa en algunos momentos especiales, es decir, para algunos valores de t.

Si t = 0:

V_C = V_{CC} \cdot (1 - e^0) = V_{CC} \cdot (1-1) = 0

Es decir que para el momento inicial, cuando t es cero, la tensión en el capacitor también es cero.

Si t es muy grande (tiende a infinito):

V_C = V_{CC} \cdot (1-e^{-\infty}) = \\V_{CC} \cdot (1-0) = \\V_{CC}

O sea que después de mucho tiempo, la tensión en el capacitor se hace igual a la tensión de la fuente (cuando decimos que el condensador ya está cargado).

Un momento interesante es cuando t = RC, es decir el producto entre el valor de la resistencia y la capacidad:

V_C = V_{CC} \cdot (1-e^{-RC/RC}) = \\V_{CC} \cdot (1- e^{-1}) =\\  
 V_{CC} \cdot (1-0,37) = \\0,63 \cdot V_{CC}

En otras palabras, cuando t = RC, el valor de la tensión en el capacitor llega al 63% de la tensión de la fuente, es decir, al 63% del valor máximo.

Este valor de tiempo es un valor que nos sirve para comparar el comportamiento de distintos circuitos RC, con diferentes valores de R y C.

Al producto R.C se le denomina constante de tiempo y se lo representa con la letra griega tau:

\tau = R \cdot C

La unidad de medida de la constante de tiempo es el segundo.

Se considera que un condensador ya esta cargado cuando pasa un tiempo igual a 5 constantes de tiempo (5 tau), porque la tensión en sus bornes llega al 99,3% del valor final:

V_C = V_{CC} \cdot (1-e^{-5RC/RC}) = \\V_{CC} \cdot (1-e^{-5}) = \\V_{CC} \cdot (1-0,007) =\\0,993 \cdot V_{CC}

La imagen siguiente muestra algunas curvas en las que se grafican la variación de la tensión V_C para tres circuitos distintos con diferentes valores de la constante de tiempo (0.8, 2 y 4 segundos). Tambien está marcado con una línea recta el valor constante de 6,3 V que marca el 63% del valor de la fuente.

Vcc = 10 %Tensión de batería

R1 = 800 %Resistencia (ohms)
C1 = 0.001 %Capacidad (F)

R2 = 2000 %Resistencia (ohms)
C2 = 0.001 %Capacidad (F)

R3 = 4000 %Resistencia (ohms)
C3 = 0.001 %Capacidad (F)

t=0:0.1:10

Vc1 = Vcc*(1-exp(-t/(R1*C1)))
Vc2 = Vcc*(1-exp(-t/(R2*C2)))
Vc3 = Vcc*(1-exp(-t/(R3*C3)))
Vc4 = 6.3

plot (t,Vc1,";0.8 seg;",t,Vc2,";2 seg;",t,Vc3,";4 seg;",t,Vc4)
grid minor; % Cuadrícula
xlabel("tiempo [s]");
ylabel("Tensión [V]");
title("Carga del condensador");

En esta gráfica interactiva puedes cambiar los valores de Tensión de la fuente (Vcc), Resistencia y Capacidad y ver como varía la tensión en el tiempo.

Variación de la corriente

Veamos ahora como varía la corriente en el circuito de la Fig. 6 que es igual al de la Fig. 3 pero que incluye ahora un sensor que nos permite ver como varía la corriente:

Como se puede apreciar, apenas cerramos el interruptor la corriente tiene su valor máximo, que es de 2 Amperes, según muestra el sensor de corriente.

Sin embargo, a medida que pasa el tiempo el valor de la corriente va disminuyendo, hasta que se hace cero cuando el capacitor está completamente cargado.

La fórmula que describe la variación de la corriente por el condensador (I_C) en función del tiempo (t) es:

I_C = \frac{V_{CC}}{R} \cdot e^{-t/RC} 

Donde, como ya vimos, V_CC es el voltaje de la fuente de tensión, e una constante, R el valor de la resistencia en Ohms y C el de la capacidad en Faradios.

Veamos algunos valores particulares. Si t=0:

I_C = \frac{V_{CC}}{R} \cdot e^{-t/RC}  = \\ \frac{V_{CC}}{R} \cdot e^0 = \\I_C = \frac{V_{CC}}{R} 

O sea, que en el momento inicial, la corriente está limitada solo por la resistencia R y el capacitor se comporta como si fuera un cortocircuito.

En la simulación de la Fig. 6, la resistencia es 5 ohms y la batería de 10 Voltios, así que la corriente inicial es de 10 V/5 ohms = 2 Amperes, en coincidencia con lo que indica el sensor.

Después de mucho tiempo, cuando t tiende a infinito:

I_C = \frac{V_{CC}}{R} \cdot e^{-t/RC} = \\ \frac{V_{CC}}{R} \cdot e^{-\infty} =\\ 0

Esto es lo que ya dijimos antes, después de que el capacitor ya está cargado, la corriente se hace cero.

Finalmente, veamos cuanto vale la corriente cuando el tiempo es igual a una constante de tiempo (RC):

I_C = \frac{V_{CC}}{R} \cdot e^{-t/RC} = \\ \frac{V_{CC}}{R} \cdot e^{-RC/RC}=\\\frac{V_{CC}}{R} \cdot e^{-1} = 0.37 \cdot \frac{V_{CC}}{R}

Para este valor de tiempo, la corriente vale el 37% de la corriente máxima.

Las siguientes curvas muestran la variación de la corriente para tres circuitos con distintos valores de la constante de tiempo (0.8, 2 y 4 segundos). Tambien está marcado con una línea recta el valor constante de 3,7 V que marca el 37% del valor de la fuente.

Vcc = 10   %Tensión de batería

R1 = 800   %Resistencia (ohms)
C1 = 0.001 %Capacidad (F)

R2 = 2000   %Resistencia (ohms)
C2 = 0.001 %Capacidad (F)

R3 = 4000   %Resistencia (ohms)
C3 = 0.001 %Capacidad (F)

t=0:0.1:10

Ic1 = Vcc*exp(-t/(R1*C1))
Ic2 = Vcc*exp(-t/(R2*C2))
Ic3 = Vcc*exp(-t/(R3*C3))

Ic4 = 3.7

plot (t,Ic1,";0.8 seg;",t,Ic2,";2 seg;",t,Ic3,";4 seg;",t,Ic4)
grid minor; % Cuadrícula
xlabel("tiempo [s]");
ylabel("Corriente [A]");
title("Carga del condensador");

Para terminar, la siguiente gráfica muestra como varían la tensión y la corriente al mismo tiempo, mientras se produce la carga del condensador.

Vcc = 10   %Tensión de batería

R1 = 2000   %Resistencia (ohms)
C1 = 0.001 %Capacidad (F)

t=0:0.1:10

Ic1 = Vcc*exp(-t/(R1*C1))
Vc1 = Vcc*(1-exp(-t/(R1*C1)))

plot (t,Ic1,";I;",t,Vc1,";V;")
grid minor; % Cuadrícula
xlabel("tiempo [s]");
ylabel("I[A], V[V]");
title("Carga del condensador");

Descarga

Después de analizar el proceso de carga del condensador, veamos ahora como se comporta durante la descarga.

Variación de la tensión

Para analizar el comportamiento de la tensión utilizaremos el circuito de mas abajo (Fig. 9) en el que primero se carga el condensador con el interruptor de la izquierda (no se ve en la simulación) y luego lo descargamos actuando sobre el interruptor de la derecha a través de un resistor R de 2 ohms y de una lámpara para tener una indicación visual de la variación de la tensión:

Como podemos ver en la imagen, inicialmente la tensión es de 10 voltios (la tensión de la batería porque el condensador está cargado) y al cerrar el interruptor el condensador se va descargando lentamente a través de la resistencia y la lámpara, hasta que la tensión llega a cero cuando el condensador se descarga totalmente.

La fórmula que describe la variación de la tensión durante la descarga es:

V_C = V_{CC} \cdot e^{-t/RC}

Analizando como ya hicimos antes, cuando t=0:

V_C = V_{CC} \cdot e^0 = V_{CC}

Es decir que cuando comienza la descarga, la tensión en el condensador es igual a la tensión de la fuente (Vcc).

Cuanto t tiende a infinito:

V_C = V_{CC} \cdot e^{- \infty} = 0

O sea, que luego de mucho tiempo, cuando el condensador se descarga, la tensión se hace cero.

Variación de la corriente

Para terminar veamos que sucede con la corriente durante el proceso de descarga:

Como se aprecia en la animación, al cerrar el interruptor se inicia la descarga y se produce un pico de corriente de 1 Amper. A partir de ahí la corriente sigue disminuyendo hasta que el condensador se descarga y la corriente se hace cero.

La expresión matemática de la corriente es muy similar a la de la tensión:

I_C = \frac{V_{CC}}{R} \cdot e^{-t/RC}

Cuando se inicia la descarga t=0 y la corriente es:

I_C =\frac{V_{CC}}{R} \cdot e^0 = \frac{V_{CC}}{R}

Cabe aclarar que aquí R es la resistencia total del circuito de descarga. En la simulación de la Fig. 10 incluí una lámpara con una resistencia de 8 ohms y un resistor de 2 ohms, por lo que la resistencia total en el circuito de descarga es de 10 ohms. La corriente cuando t=0 es entonces 10V / 10 ohms = 1 Amper, que es lo que se puede ver en el indicador.

Luego de mucho tiempo:

I_C = \frac{V_{CC}}{R} \cdot e^{-\infty} = 0

En la siguiente imagen se pueden ver las curvas de la tensión y de la corriente en una misma gráfica. El valor de la tensión es de 10 voltios, la resistencia es de 2 ohms y la capacidad de 0.01 F (10 mili Faradios).

Con estos valores la constante de tiempo es de 0.02 segundos y podemos decir que el condensador está descargado luego de 5 x 0.02s = 0.1 segundos. La corriente inicial en la descarga es de 10V/2 ohms = 5 Amperes.

Vcc = 10   %Tensión de batería

R = 2   %Resistencia (ohms)
C = 0.01 %Capacidad (F)

t=0:0.01:0.2

Ic = (Vcc/R)*exp(-t/(R*C))
Vc = Vcc*(exp(-t/(R*C)))

plot (t,Ic,";I;",t,Vc,";V;")
grid minor; % Cuadrícula
xlabel("tiempo [s]");
ylabel("I[A], V[V]");
title("Descarga del condensador");

Conclusiones

En este artículo analizamos en detalle como se comporta un condensador cuando es alimentado por una fuente de corriente continua y como varían tanto la tensión como la corriente en el proceso de carga como en el de descarga.

Vimos que los dos procesos (carga y descarga) no son inmediatos, sino que llevan su tiempo y que este tiempo depende del producto de los valores de R y C, lo que se llama constante de tiempo del circuito.

Mientras mayores sean los valores de R y C, mayor será la constante de tiempo y mayores serán también los tiempos de carga y de descarga.

Esta propiedad se aprovecha en un sinnúmero de circuitos, como osciladores que generan una onda de una determinada frecuencia o temporizadores que producen un retardo de tiempo, valores que dependen de las constantes de tiempo de los circuitos RC que utilizan.

Espero que el artículo les haya sido de utilidad y que las matemáticas no hayan sido excesivas 🙂 Cualquier duda o sugerencia la pueden dejar mas abajo en la sección de comentarios.

Hasta la próxima!